重难点突破02 函数的综合应用（解析版）
重难点突破 02 函数的综合应用
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1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
图（1）
y
x
O
图（2）
O
y
x
（1）当 为奇数时，函数 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线
对称．
3、 若 为 上 的 连 续 单 峰 函 数 ， 且 为 极 值 点 ， 则 当 变 化 时 ，
的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ， ，设数列 的
前 项和为 ，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】 ，把 代入递推可得： ，
令 ， ，则 ， 在 单调递增，
，即当 时，恒有 成立，
， ， ，故选项 错误；
又 ， 选项 错误；
， ，
令 ， ，则 ， 函数 在 ， 上递减，
，
，故选项 正确；
又由 可得 ， ， （当且仅当 时取“ “ ，可得
，
，故选项 错误，
故选 ．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由 ，解得 或 ，
由零点存在性定理得 ，
当 时， ，数列单调递减，
， ，同理， ，
迭代下去，可得 ，数列单调递减，
故选项 和选项 都错误；
又 ，
，故 错误；
对于 ， ，
而 ，
，故 正确．
故选 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
， ，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于 选项， ，故 错误；
对于 选项，由 知， ，
故 为非负数列，又 ，
设 ，则 ，
易知 在 ， 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，从而 ，
所以 为递减数列，且 ，故 错误；
对于 选项，
因为数列 为递减数列，当 时，有 ，
，
故 正确；对于 选项，因为 ，而 ，故 错误．故选 ．
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